Trang chủ > Bài tập toán cao cấp, Toán cao cấp > ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC BẰNG THUẬT TOÁN LAGRANGE

ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC BẰNG THUẬT TOÁN LAGRANGE

09.01.2010

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc có nhiều cách như: Bằng phép biến đổi trực giao, phương pháp Jacobian, thuật toán Lagrang. Trong bài viết này maths3 giới thiệu thuật toán Lagrang để đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.

Cho dạng toàn phương: f(x,x) = \sum\limits_{i,j = 1}^n {{a_{{\rm{ij}}}}} {x_i}{x_j}.{a_{{\rm{ij}}}} = {a_{ji}} nên {a_{{\rm{ij}}}}{x_i}{x_j} = {a_{ji}}{x_j}{x_i}. Suy ra f(x,x) = {a_{11}}x_1^2 + 2{a_{12}}{x_1}{x_2} + ... + 2{a_{1n}}{x_1}{x_n} + {a_{22}}x_2^2 + 2{a_{23}}{x_2}{x_3} + ... + 2{a_{2n}}{x_2}{x_n} + .... + {a_{nn}}x_n^2.

Trước hết, ta xét trường hợp \exists {a_{ii}} \ne 0. Ta có thể giả sử {a_{11}} \ne 0 vì nếu {a_{11}} = 0 ta đánh số lại các chỉ số, khi đó ta được {a_{11}} \ne 0.

Thuật toán Lagrange tiến hành các bước như sau:

Bước 1. Nhóm tất cả các số hạng có chứa thừa số {x_1} và thêm bớt vào tổng đó các số hạng dạng {b_k}x_k^2,\,{c_k}{x_i}{x_j} để được một bình phương đủ là được: f(x,x) = \frac{1}{{{a_{11}}}}{({a_{11}}{x_1} + ... + {a_{1n}}{x_n})^2} + {g_2}(x,x)

Trong đó {g_2}(x,x) chỉ chứa các bình phương và các số hạng là tích chéo của {x_{2\,}},...,{x_n}.

Bước 2. Đặt \begin{cases}x_1^{'}= {a_{11}}{x_1} + ... + {a_{1n}}{x_n}\\x_2^{'} = {x_2}\\....\,\,\,\,\,\,\,.....\\x_n^{'} = {x_n}\end{cases}

Khi đó f(x,x) = \frac{1}{{{a_{11}}}}{x_1^{'}}^2 + \sum\limits_{i,j = 2}^n {a_{{\rm{ij}}}^{\rm{'}}} x_i^{'}x_j^{'}.

Bước 3. Lặp lại các bước 1,2 đối với \sum\limits_{i,j = 2}^n {a_{{\rm{ij}}}^{\rm{'}}} x_i^{'}x_j^{'}.

Sau một số bước hữu hạn ta đưa được dạng toàn phương về dạng chính tắc: {\lambda _1}\overline x _1^2 + {\lambda _2}\overline x _2^2 + ... + {\lambda _r}\overline x _r^2\,\,(r \le n).

 

Advertisements

Trang: 1 2