Trang chủ > Bài tập toán cao cấp, Toán cao cấp > TÍNH XÁC SUẤT BẰNG CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ BAYES

TÍNH XÁC SUẤT BẰNG CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ BAYES

11.01.2010

Giả sử ta có nhóm đầy đủ các biến cố B_{1},B_{2},...,B_n ( nghĩa là 2 biến cố bất kỳ đều xung khắc với nhau và tổng của n biến cố này tương đương với biến cố chắc chắn: B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = \Omega. Biến cố A cần tìm xác suất quan hệ với nhóm đầy đủ như sau: Biến cố A xẩy ra thì suy ra xảy ra biến cố B_i nào đó; còn ngược lại nếu xảy ra biến cố B_i nào đó thì chưa khẳng định biến cố A xảy ra. Khi đó P(A) được tính như sau:

P(A) = \sum\limits_{i = 1}^n P(B_i) P(A/B_i) (Công thức đầy đủ)

P(B_k/A)=P(B_k).P(A/B_k)/P(A) k=1,…,n (Công thức Bayes)

Nhận xét.

Cái khó khi tính xác suất bằng công thức đầy đủ và công thức Bayes là phải nhận ra được mô hình bài toán và phải chỉ ra được nhóm đầy đủ các biến cố.

Trước hết ta thấy rằng nhóm đầy đủ là không duy nhất. Chẳng hạn {B_1},\,{B_2},{B_3} nhóm đầy đủ thì {B_1};\,\overline {{B_1}} \,;\,{B_2};\overline {{B_2}} \,;... cũng đều là nhóm đầy đủ. Vấn đề ta phải chọn nhóm đầy đủ nào có quan hệ với biến cố A phù hợp vớ mô hình?

Nếu bài toán đề cập đến 2 phần, biến cố A liên quan trực tiếp đến phần sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là các trường hợp xẩy ra ở phần đầu. Nếu phép thử gồm 2 bước hay 2 giai đoạn; biến cố A liên quan trực tiếp đến bước sau hay giai đoạn sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là các trường hợp có thể của bước một hay giai đoạn 1.

Ví dụ 1. Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất ra một loại sản phẩm. Sản phẩm của phân xưởng I chiếm 40\% sản lượng của nhà máy. Tương tự, phân xưởng II và phân xưởng III chiếm 30\%. Tỷ lệ chính phẩm của từng phân xưởng tương ứng là 94\%, \, 96\%95\%.

a) Tìm tỷ lệ chính phẩm chung của toàn nhà máy.

b) Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm của nhà máy ta bị cái phế phẩm. Hãy đoán xem phế phẩm đó là do phân xưởng nào làm ra?

Lời giải.

a) Bài toán này đề cập đến 2 phần: phân xưởng của nhà máy và sản phẩm chính phẩm. Việc tìm tỷ lệ chính phẩm chung của nhà máy tương đương với việc tính xác suất của biến cố: A={Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm, được chính phẩm}. Biến cố A liên quan trực tiếp đến chính phẩm. Do đó theo nhận xét trên nhóm đầy đủ sẽ là: {B_i} ={Sản phẩm của phân xưởng i}; i=1,2,3.

Vậy ta có:

\begin{array}{l}P({B_1}) = 0,40;\,\,P({B_2}) = 0,30;\,\,P({B_3}) = 0,30; \\ P(A/{B_1}) = 0,94;\,\,P(A/{B_2}) = 0,96;\,\,P(A/{B_3}) = 0,95 \\ P(A) = 0,4.0.94 + 0,3.0,96 + 0,3.0,95 = 0,949 \\ \end{array}

(Ở đây các xác suất có điều kiện được tính trực tiếp. Diễn đạt thành lời: $P(A/{B_1})$ là xác suất để lấy ra một chính phẩm với điều kiện các sản phẩm này do phân xưởng I làm ra hay là xác suất để lấy ra một chính phẩm của phân xưởng I; theo đề bài ta có ngay 0,94)

b) Để trả lời câu hỏi b) ta dùng công thức Bayes

\begin{array}{l} P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,949 = 0,051 \\ P({B_1}/\overline A ) = P({B_1})P(\overline A /{B_1})/P(\overline A ) = 0,4.0,06/0,051 = 0,4706 \\ P({B_2}/\overline A ) = 0,3.0,04/0,051 = 0,2353 \\ P({B_3}/\overline A ) = 0,3.0,05/0,051 = 0,2941 \\ \end{array}

Vậy ta nên đoán phế phẩm lấy ra là của phân xưởng I làm ra. Trả lời như vậy khả năng đúng là cao nhất.

About these ads

Trang: 1 2

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.